Volume Integral

定义 Definition

volume integral（体积分）：在三维空间的某个体积区域内，对一个函数进行积分，用来计算该区域内某种“总量”，例如质量、总电荷、能量、流量等。常见形式为
(\displaystyle \iiint_V f(x,y,z), dV)（其中 (dV) 是体积微元）。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈvɑːl(j)uːm ˈɪntɪɡrəl/

例句 Examples

The total mass is found by a volume integral of the density.
总质量可以通过对密度做体积分来求得。

In electrostatics, the electric potential at a point can be written as a volume integral over the charge density divided by the distance, integrated across the region containing the charges.
在静电学中，某点的电势可以写成对电荷密度的体积分形式：将电荷密度除以距离后，对包含电荷的区域进行积分。

词源 Etymology

volume 来自拉丁语 volumen（原意与“卷、卷轴”有关，后来引申为“体积、容积”）；integral 来自拉丁语 integer（“完整的、整体的”）。合在一起，volume integral 直观表达“对一个体积区域做整体累加（积分）”。

相关词 Related Words

• Triple Integral
• Surface Integral
• Line Integral
• Volume
• Integrand
• Differential Element
• Divergence Theorem
• Jacobian

文学与名著用例 Literary Works

• Classical Electrodynamics（J. D. Jackson）——用体积分表达电荷分布对电势/电场的贡献。
• Introduction to Electrodynamics（David J. Griffiths）——以体积分形式推导由体电荷密度产生的电势与电场。
• Mathematical Methods for Physicists（Arfken, Weber & Harris）——在多重积分与坐标变换中系统使用体积分。
• Div, Grad, Curl, and All That（H. M. Schey）——在向量分析与定理（如散度定理）中频繁出现体积分表达。